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關于勾股定理
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理。這是由于，他們認為最早發現直角三角形具有“勾2+股2=弦2”這一性質并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras,約公元前580-公元前500）。
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實。”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
證明方法：
先拿四個一樣的直角三角形。拼入一個（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面積：c2 .圖（1）再改變三角形的位置就會看到兩個米色的正方形，面積是（a2 , b2）。圖（2）四個三角形面積不變，所以結論是：a2 + b2 = c2
勾股定理的歷史：
商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作 《周髀 算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四,經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”.這就是著名的勾股定理。
關于勾股定理的發現，《周髀算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”“此數”指的是“勾三股四弦五”,這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。
趙爽：
東漢末至三國時代吳國人為《周髀算經》作注，并著有《勾股圓方圖說》。
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截，割，拼，補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數，形數統一，代數和幾何緊密結合，互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這一風格并且代有發展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的……十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續。”
中國最早的一部數學著作--《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”
商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊’勾‘等于3,另一條直角邊’股‘等于4的時候，那么它的斜邊’弦‘就必定是5.這 個原理是大禹在治水的時候就總結出來的。