(通用)一元二次方程教學設計
作為一位杰出的老師，往往需要進行教學設計編寫工作，教學設計是把教學原理轉化為教學材料和教學活動的計劃。優秀的教學設計都具備一些什么特點呢？下面是小編精心整理的一元二次方程教學設計，僅供參考，大家一起來看看吧。
一元二次方程教學設計1
教學目標
一、 教學知識點
1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系.
2、 理解二次函數與 x 軸交點的個數與一元二次方程的根的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.
3、 理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫坐標.
二、 能力訓練要求
1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，培養學生的探 索能力和創新精神
2、通過觀察二次函數與x 軸交 點的個數，討論 一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想.
3、通過學生共同觀察和討論，培養合作交流意識.
三、 情感與價值觀要求
1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.
2、 具有初步的創新精神和實踐能力.
教學重點
1.體會方程與函數之間的聯系.
2.理解何 時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫坐標.
教學難點
1、探索方程與函數之間的聯系的過程.
2、理解二次函數與x 軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系.
教學方法
討論探索法
教學過程：
1、 設問題情境，引入新課
我們已學過一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函數y =kx+b (k0)的關系，你還記得嗎?
它們之間的關系是：當一次函數中的函數值y =0時，一次函數y =kx+b就轉化成了一元一次方 程kx+b=0，且一次函數的圖像與x 軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解.
現在我們學習了一元二次方程和二次函數，它們之間是否也存在一定的關系呢?本節課我們將探索有關問題.
2、 新課講解
例題講解
我們已經知道，豎直上拋物體的高度h (m )與運動時間t (s )的關系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是拋出時的高度，v 0(m/s )是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s 速度豎直向上拋起，小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如下圖所示，那么
(1)h 與t 的關系式是什么?
(2)小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?
小組交流，然后發表自己的看法.
學生交流：(1)h 與t 的關系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0
為40m/s，小球從地面拋起，所以h 0=0.把v 0,h 0帶入上式即可
求出h 與t 的關系式h =-5t 2+40t
(2)小球落地時h為0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是
-5t 2+40t=0
t 2-8t=0
t(t- 8)=0
t=0或t=8
t=0時是小球沒拋時的時間，t=8是小球落地時的時間.
也可以觀察圖像，從圖像上可看到t =8時小球落地.
議一議
二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像如下圖所示
(1)每個圖像與x 軸有幾個交點?
(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根嗎?
(3)二次函數的圖像y=ax2+bx+c 與x 軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么關系?
學生討論后，解答如 下：
(1)二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像與x 軸分別有兩個交點、一個交點，沒有交點.
(2)一元二次方程x 2+2x=0有兩個根0，-2 ;x2-2x+1=0有兩個相等的實數根1或一個根1 ;方程x2-2x +2=0沒有實數根
(3)從圖像和討論知，二次函數y=x2+2x與x 軸有兩個交點(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有兩個根0，-2;
二次函數y=x2-2x+1的'圖像與x 軸有一個交點(1,0),方程 x2-2x+1=0 有兩個相等的實數根1或一個根1
二次函數y=x2-2x +2 的圖像與x 軸沒有交點, 方程x2-2x +2=0沒有實數根
由此可知 ，二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
小結：
二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點有三種情況：有兩個交點、一個交點、沒有焦點.當二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸有交點時 ，交點的橫坐標就是當y =0時自變量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
基礎練習
1、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點的坐標.
(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4
2、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點在x軸上，則a= ;若拋物線與x軸有兩個交點，則a的范圍是
3、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個交點，則a的范圍是 .
4、已知拋物線y=x2+px+q與x 軸的兩個交點為(-2，0)，(3，0)，則p= ，q= .
5. 已知拋物線 y=-2(x+1)2+8 ①求拋物線與y軸的交點坐標;②求拋物線與x軸的兩個交點間的距離.
6、拋物線y=a x2+bx+c(a0)的圖象全部在軸下方的條件是( )
(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0
(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0
想一想
在本節一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60 m?你是怎樣知道的?
學生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0為40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得
-5t 2+40t=60
t 28t+12=0
t=2或t=6
因此當小球離開地面2秒和6秒時，高度是6 0 m.
課堂練習 72頁
小結 ：本節課學習了如下內容：
1、若一元二 次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1、x2， 則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標分別是A(x1，0 )， B( x2，0 )
2、一元二次方程ax2+bx+c=0與二次三項式ax2+bx+c及二次函數y=ax2+bx+c這三個二次之間互相轉化的關系.體現了數形結合的思想3、二次函數y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?
一元二次方程教學設計2
一、教學內容分析
華師版九年級(上)23章《一元二次方程的根的判別式》一節，教材中作為閱讀材料。從推導到應用都比較簡單。但是它在整個中學數學中占有重要的地位。
從知識的發展來看，學生通過對一元二次方程的根的判別式的學習，可以鞏固已學過實數、整式、二次根式、一元一次不等式、一元二次方程的相關概念、一元二次方程的解法等知識，既可以根據它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究二次函數的圖像與x軸交點情況，二次三項式以及二次曲線等奠定基礎，并且用它可以解決許多其它綜合性問題。
通過這一節的學習，使學生會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等，培養學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向學生滲透分類的數學思想，感受數學的簡潔美。
教學重點：根的判別式的正確理解和運用
教學難點：含字母系數的一元二次方程根的判別式的運用。
二、學情分析
學生已經學過一元二次方程的四種解法，并對的作用已經有所了解，在此基礎上來進一步研究作用，它是前面知識的深化與總結。
九年級學生的認識水平漸漸由具體直覺占優勢過渡到抽象思維占優勢。教師的指導方法應適應他們的認知特點和相應規律。
從數學思想方法上來說，學生對分類討論、歸納總結的數學思想已經有所接觸。所以可以通過讓學生動手、動腦來培養學生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力。
三、教學目標
知識和技能目標：
1、能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證;
2、會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍;
過程和方法目標：
1、經歷一元二次方程的根的判別式的產生的過程;
2、向學生滲透分類的數學思想;
3、培養學生的邏輯思維能力以及推理論證能力。
情感態度價值觀目標：
1、體驗數學的簡潔美;
2、培養學生的探索、創新精神和協作精神。
四、教法、學法：
教法：
1、探索發現：本著“以學生發展為本”的教育理念，教師啟發、誘導，學生探索發現新知識;
2、觀察演示：通過典型例題的分析、研究，引發學生的思考、質疑、解疑;
3、歸納總結：通過課堂小結，完善認知結構，提高認識能力;
4、講練結合：通過變式訓練、拓展訓練，讓學生學會分類、類比、轉化等數學思想，培養學生分析問題和解決問題的能力。
學法：
1、自主探索：為了體現課改中“以學生為主體”的教育理念，通過創設一定的問題情境，注重由學生自己探索，讓學生參與發現、歸納驗證以及演繹證明等整個數學思維過程。
2、合作交流：課上通過師生之間的互動，學生與學生之間的互動，充分發揮學生的主體作用。
五、教學過程：
教學流程 | 設計說明 |
<一>設置懸念，引發興趣： 1、我們已經學會了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪幾種情況？能不能不解方程便判斷出它們根的情況？ 2、由學生舉出幾個一元二次方程的例子，教師直接判斷出它們根的情況 | 這樣設計，能激發學生的學習興趣和求知欲，為后面發現結論創造最佳的心理狀態。 |
<二>設置練習，創設情境。 用公式法解下列一元二次方程 | 使學生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識 |
<三>啟發引導，發現結論： 觀察解題過程，可以發現：在把系數代入求根公式之前，都是先確定了a、b、c的值，然后求出的值，為什么要這樣做呢？學生能說出 的作用是：它能決定方程是否可解。 由此可見：在解一元二次方程時，代數式起著重要的作用，顯然我們可以根據的值的符號來判斷一元二次方程 的根的情況，因此我們把 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△”來表示，即△=。在今后的數學學習中還會遇到用一個簡單的符號來表示一個數學式子的情況，同學們要適應這一點，它體現了數學的簡潔美。 | 讓學生明白： 的值的'符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。 培養學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發現結論的成功樂趣。 |
<四>引導學生，理論驗證： 利用配方法，可以把一元二次方程變形為： ∵ ∴ ， 故的值是正數、零還是負數直接對方程的根產生影響 （1）時，可得： ，而且 （2）時，， 顯然 （3）時，， ∵ 負數沒有平方根 ∴ 方程沒有實數根 | 培養學生思維的嚴謹性，養成嚴格論證問題的習慣。 |
<五>揭示定理： （1）由此我們就得出了關于一元二次方程 的根的判別式定理： 在一元二次方程中， 若△＞0 則方程有兩個不相等的實數根 若△ = 0 則方程有兩個相等的實數根 若△＜0 則方程沒有實數根 (若△≥0 則方程有實數根) （2）這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程中， 若方程有兩個不相等的實數根，則△＞0 若方程有兩個相等的實數根， 則△= 0 若方程沒有實數根， 則△＜0 (若方程有實數根, 則△≥0) | 培養學生學會如何用數學語言來闡述發現的結論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對定理的認識，為正確運用做好鋪墊。 |
<六>應用定理，解決問題： 練習一：不解方程，判別下列方程根的情況 分析：判別方程根的情況，根據定理可知，就是要確定△值的符號 練習二： 不解方程，判別下列方程根的情況 | （4）題補充了一個含有字母系數的方程，補充此題的目的是：發展學生的符號意識，為今后解綜合性問題打好基礎。 以上練習的設計，主要是為了給學生創造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養學生分析問題，解決問題的能力。 |
思考：已知關于的方程，當取什么值時，方程 （1） 有兩個不相等的實數根 （2） 有兩個相等的實數根 （3） 沒有實數根 分析：要解決這個問題，應先根據方程根的情況，得出△的取值，從而求出的取值范圍。 | 本題是一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己完成。 |
<七>歸納小結 一元二次方程中， 方程有兩個不相等的實數根 方程有兩個相等的實數根 方程沒有實數根 | 使學生系統地了解和掌握本節課的內容 |
< 八>作業布置： （必做題）不解方程判定下列方程根的情況： （選做題）已知：方程有兩個實數根， 求：的取值范圍 | 使學生能及時鞏固本節課所學知識，同時對學有余力的學生留出自由的發展空間。 |
一元二次方程教學設計3
學情分析
學生在七年級和八年級已經學習了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎上本節課將從實際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
教學目標：
知識技能
1、理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項.
過程與方法
1、通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題及解決問題的能力.
2、通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.
情感態度
1、培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識.
2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識.
教學重難點
重點：一元二次方程的概念及一般形式.
難點：探求問題中的等量關系，建立方程模型
教學突破：
1、方程是否為一元二次方程，主要看是否滿足三個條件：（1）是整式方程;（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數為2次
2、一元二次方程的各項系數均是相對于一般形式而言的，因此在教學中應強調：若要確定各項的系數，應先將方程化為一般形式。另外，一定要注意符號，尤其符號不能漏掉。
教學過程設計
一、創設情境引入新課
問題1:
在長30米，寬20米的矩形場地上，修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為500平方米，求道路的寬度？.
通過多媒體演示,把文字轉化為圖形,幫助學生理解題意,從而由學生獨立思考,列出滿足條件的方程.
問題2：
參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，求有多少家參加商品交易會？
二、啟發探究獲得新知
1、一元二次方程的概念：經整理后，，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。
說明：(1)由一問題得到2個方程,由學生觀察歸納這2個方程的特征,給出名稱并類比一元一次方程的定義,得出一元二次方程的定義.
(2)一元二次方程必須同時具備三個特征：a)整式方程; b)只含有一個未知數; c)未知數的最高次數為2.
眼疾口快:
請搶答下列各式是否為一元二次方程：
�。�4）5x+3=10
說明：此環節采取搶答的形式,提高學生學習數學的興趣和積極性.
2、一元二次方程的一般式：
試一試:
例1、下面給出了某個方程的幾個特點：
它的一般形式為
（2）它的二次項系數為5；
�。�3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。
請你寫出一個符合條件的'的一元二次方程
說明：此題設置的目的在于加深學生對一般形式的理解
三、運用新知體驗成功
小試牛刀:
1．將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并
寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項．
（1）5x 2 -1= 4x；
�。�2）4x 2 = 81；
�。�3）4x（x+2）=25；
�。�4）(3x – 2)( x + 1 ) = 8x - 3
說明：鞏固練習學生整理一般形式的方法,并準確找出各項系數.此環節可找學生口答結果.另讓學生落實將剛才教師板書的整理一般形式的過程,再次突出本節課的重點內容
2.
(1)小區20xx年底擁有家庭轎車64輛，20xx年底家庭轎車的擁有輛達到100輛，若該小區這兩年的年平均增長率相同，求年平均增長率x；
�。�2）一個矩形的長比寬多2厘米，面積是100平方厘米，求矩形的長x；
（3）要組織一次籃球聯賽，每兩隊之間都賽一場，計劃安排21場比賽，有多少隊參加？
說明：這幾題有在實際生活中應用的意義,以此題為例,教師板書整理一元二次方程的過程,讓學生學會如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能準確找到各項系數.
教師在此活動中應重點關注:
(1)由一個學生列出方程,并解釋解題方法,教師進行引導,點評,引起其他學生的關注,認同.
(2)教師在歸納點評過程中,應注意把兩隊只打一場比賽解釋清楚,以便學生理解題意.
(3)整理一般形式后,教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法,如去括號,移項,合并同類項,去分母等.
(4)讓學生指出各項系數時,教師強調系數須帶符合.
例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5
是關于x的一元二次方程？
此題由學生思考,討論,并由學生給出結果并進行解釋.
說明：此活動過程中,教師應重點關注:
(1)此題目在上一題的基礎上繼續加大難度,第(1)題須強調先進行整理,再考慮二次項系數是否為零;第(2)題須先求出m值,再代入二次項系數中,驗證是否為0,得到結果.
(2)學生解答過程中,教師把整理的一般形式書寫在黑板上,以便全體學生理解.
(2)學生解答過程中,教師把整理的一般形式書寫在黑板上,以便全體學生理解.
四、歸納小結拓展提高
1．問題：
本節課你又學會了哪些新知識？
說明：小結反思中，不同學生有不同的體會，要尊重學生的個體差異，激發學生主動參與意識，.為每個學生都創造了數學活動中獲得活動經驗的機會。
2．還有什么疑惑？
五、布置作業：
教科書第21.1第1、2、3題.
板書設計
21.1一元二次方程
一元二次方程的概念：方程兩邊都是整式，并且只含有一個未知數，未知數的最高次數是2的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式
a表示二次項系數，b表示一次項系數，c表示常數項。
例1.例1、下面給出了某個方程的幾個特點：
它的一般形式為
�。�2）它的二次項系數為5；
�。�3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。
請你寫出一個符合條件的的一元二次方程
例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5
是關于x的一元二次方程？
學生學習活動評價設計：
關注學生在學習活動中的表現，如能否積極的參加活動，能否從不同的角度去思考問題，等等，而不是僅局限于學生列方程，判斷學生各項系數的正確與否。
重視學生應用新知解決問題的能力的評價，鼓勵學生使用數學語言，有條理地表達自己的思考過程，鼓勵大膽質疑和創新。
一元二次方程教學設計4
課題名稱
一元二次方程
科目
數學
年級
九年級
教學時間
一課時
學習者分析
學生的學習思維、解決問題等能力的高低叁差不齊。從學生現有的情況來看，多數同學對列方程解應用題感覺較難掌握，面對題意無法找出等量關系。另外，很多學生的計算能力也不強。因此，在教學中主要以較為簡單的基礎題為授課主線，其中參入少數中檔題供一些學有余力的學生思考。
教學目標
一、情感態度與價值觀
1、培養學生主動探索、敢于實勇于發現、合作交流的精神。
二、過程與方法
1、經歷抽象一元二次方程的過程，使學生體會出方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型
2、經歷探索滿足方程解的過程，發展估算的意識和能力。
三、知識與技能
1、充分了解一元二次方程的概念
2、正確掌握一元二次方程的一般形式。
教學重點、難點
1、一元二次方程的概念及一般形式。
2、由實際問題向數學問題的轉化過程。
3、正確識別一般式中的“項”及“系數”。
教學資源
多媒體課件
教學過程
教學活動1
一、創設情境，導入新課
問題1：
2008年奧運會將在北京舉辦，許多大學生都希望為奧運奉獻自己的一份力量�，F組委會決定對高校奧運志愿者進行分批培訓，由已合格人員培訓第一輪人員，再由前面所有合格人員培訓第二輪人員，以此類推來完成此次培訓任務。某高校學生李紅已受訓合格，成為一名志愿者，并由她負責培訓本校志愿者。若每輪培訓中每個志愿者平均培訓x人。
�。�1）已知經過第一輪培訓后該校共有11人合格，請列出滿足條件的方程：
（2）若兩輪培訓后該校共有121人合格，你能列出滿足條件的方程嗎？
問題2：
有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？
問題3：
我校為豐富校園文化氛圍，要設計一座2米高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與全部高度的乘積，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？
教學活動2
二、探究新知，嘗試練習
由以上問題得到2個方程，學生觀察歸納這2個方程的特征，給出名稱并類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義。
歸納：
1、一元二次方程的'概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。
強調定義中體現的3個特征：
①整式；②一元；③2次
練習1：判斷下列各式是否為一元二次方程：
�。�1）4x2=81（2）2（x2_1）=3y（3）5x2_1=4x（4）x2+3x_c=0（5）3x（x+1）=5（x+2）
引導學生類比一元一次方程的一般形式，總結歸納一元二次方程的一般形式及項、系數的概念
2、一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2為二次項，a為二次項系數；bx為一次項，b為一次項系數；c為常數項。
提問：說出下列方程的一次項系數、二次項系數和常數項
x2+2x—1=0x2—36x+35=0
練習2：說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：（由學生以搶答的形式來完成此題，并讓學生找出錯誤理由。）
�。�1）x2十3x十2＝O（2）x2_3x十4＝0；
�。�3）3x2—5＝0（4）4x2十3x_2＝0；
�。�5）3x2_5=0；（6）6x2_x=0。
整理一般形式后，教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法，如去括號，移項，合并同類項，去分母。
教學活動3
三、合作學習，鞏固提高
1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項
（1）2（x2－1）= 3 x
（2）3（x－3）2=（x＋2）2＋7
�。�3）3x（x—1）＝2（x十2）
2、我校為樹立學生的團結、拼搏精神，組織了一次籃球比賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，依據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？（列方程并整理成一般形式）
教學活動4
四、歸納小結，布置作業
本節課你學會哪些新知識？
學生交流、討論，談談自己的收獲或感悟。
一元二次方程教學設計5
由"倍數關系"等問題建立數學模型,并通過配方法或公式法或分解因式法解決實際問題.
教學目標
掌握用"倍數關系"建立數學模型,并利用它解決一些具體問題.
通過復習二元一次方程組等建立數學模型,并利用它解決實際問題,引入用"倍數關系"建立數學模型,并利用它解決實際問題.
重難點關鍵
1.重點:用"倍數關系"建立數學模型
2.難點與關鍵:用"倍數關系"建立數學模型
教學過程
一、復習引入
(學生活動)問題1:列方程解應用題
下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價(收盤價:股票每天交易結果時的價格):
星期 一 二 三 四 五
甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在這周內持有若干甲、乙兩種股票,若按照兩種股票每天的收盤價計算(不計手續費、稅費等),則在他帳戶上,星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,這人持有的甲、乙股票各多少股?
老師點評分析:一般用直接設元,即問什么就設什么,即設這人持有的甲、乙股票各x、y張,由于從表中知道每天每股的收盤價,因此,兩種股票當天的帳戶總數就是x或y乘以相應的每天每股的收盤價,再根據已知的等量關系;星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,便可列出等式.
解:設這人持有的甲、乙股票各x、y張.
則 解得
答:(略)
二、探索新知
上面這道題大家都做得很好,這是一種利用二元一次方程組的數量關系建立的數學模型,那么還有沒有利用其它形式,也就是利用我們前面所學過的一元二次方程建立數學模型解應用題呢?請同學們完成下面問題.
(學生活動)問題2:某工廠第一季度的一月份生產電視機是1萬臺,第一季度生產電視機的總臺數是3.31萬臺,求二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率是多少?
老師點評分析:直接假設二月份、三月份生產電視機平均增長率為x.因為一月份是1萬臺,那么二月份應是(1+x)臺,三月份應是在二月份的基礎上以二月份比一月份增長的同樣"倍數"增長,即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,那么就很容易從第一季度總臺數列出等式.
解:設二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率為x,則1+(1+x)+(1+x)2=3.31
去括號:1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理,得:x2+3x-0.31=0
解得:x=10%
答:(略)
以上這一道題與我們以前所學的'一元一次、二元一次方程(組)、分式方程等為背景建立數學模型是一樣的,而我們借助的是一元二次方程為背景建立數學模型來分析實際問題和解決問題的類型.
例1.某電腦公司20xx年的各項經營中,一月份的營業額為200萬元,一月、二月、三月的營業額共950萬元,如果平均每月營業額的增長率相同,求這個增長率.
分析:設這個增長率為x,由一月份的營業額就可列出用x表示的二、三月份的營業額,又由三月份的總營業額列出等量關系.
解:設平均增長率為x
則200+200(1+x)+200(1+x)2=950
整理,得:x2+3x-1.75=0
解得:x=50%
答:所求的增長率為50%.
三、鞏固練習
(1)某林場現有木材a立方米,預計在今后兩年內年平均增長p%,那么兩年后該林場有木材多少立方米?
(2)某化工廠今年一月份生產化工原料15萬噸,通過優化管理,產量逐年上升,第一季度共生產化工原料60萬噸,設二、三月份平均增長的百分率相同,均為x,可列出方程為__________.
四、應用拓展
例2.某人將20xx元人民幣按一年定期存入銀行,到期后支取1000元用于購物,剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行,若存款的利率不變,到期后本金和利息共1320元,求這種存款方式的年利率.
分析:設這種存款方式的年利率為x,第一次存20xx元取1000元,剩下的本金和利息是1000+20xxx·80%;第二次存,本金就變為1000+20xxx·80%,其它依此類推.
解:設這種存款方式的年利率為x
則:1000+20xxx·80%+(1000+20xxx·8%)x·80%=1320
整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0
解得:x1=-2(不符,舍去),x2= =0.125=12.5%
答:所求的年利率是12.5%.
五、歸納小結
本節課應掌握:
利用"倍數關系"建立關于一元二次方程的數學模型,并利用恰當方法解它.
六、布置作業
1.教材P53 復習鞏固1 綜合運用1.
2.選用作業設計.
作業設計
一、選擇題
1.20xx年一月份越南發生禽流感的養雞場100家,后來二、三月份新發生禽流感的養雞場共250家,設二、三月份平均每月禽流感的感染率為x,依題意列出的方程是( ).
A.100(1+x)2=250 B.100(1+x)+100(1+x)2=250
C.100(1-x)2=250 D.100(1+x)2
2.一臺電視機成本價為a元,銷售價比成本價增加25%,因庫存積壓,所以就按銷售價的70%出售,那么每臺售價為( ).
A.(1+25%)(1+70%)a元 B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1-70%)a元 D.(1+25%+70%)a元
3.某商場的標價比成本高p%,當該商品降價出售時,為了不虧損成本,售價的折扣(即降低的百分數)不得超過d%,則d可用p表示為( ).
A. B.p C. D.
二、填空題
1.某農戶的糧食產量,平均每年的增長率為x,第一年的產量為6萬kg,第二年的產量為_______kg,第三年的產量為_______,三年總產量為_______.
2.某糖廠20xx年食糖產量為at,如果在以后兩年平均增長的百分率為x,那么預計20xx年的產量將是________.
3.我國政府為了解決老百姓看病難的問題,決定下調藥品價格,某種藥品在1999年漲價30%后,20xx年降價70%至a元,則這種藥品在1999年漲價前價格是__________.
三、綜合提高題
1.為了響應國家"退耕還林",改變我省水土流失的嚴重現狀,20xx年我省某地退耕還林1600畝,計劃到20xx年一年退耕還林1936畝,問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率2.洛陽東方紅拖拉機廠一月份生產甲、乙兩種新型拖拉機,其中乙型16臺,從二月份起,甲型每月增產10臺,乙型每月按相同的增長率逐年遞增,又知二月份甲、乙兩型的產量之比是3:2,三月份甲、乙兩型產量之和為65臺,求乙型拖拉機每月的增長率及甲型拖拉機一月份的產量.
3.某商場于第一年初投入50萬元進行商品經營,以后每年年終將當年獲得的利潤與當年年初投入的資金相加所得的總資金,作為下一年年初投入的資金繼續進行經營.
(1)如果第一年的年獲利率為p,那么第一年年終的總資金是多少萬元?(用代數式來表示)(注:年獲利率= ×100%)
(2)如果第二年的年獲利率多10個百分點(即第二年的年獲利率是第一年的年獲利率與10%的和),第二年年終的總資金為66萬元,求第一年的年獲利率.
答案:
一、1.B 2.B 3.D
二、1.6(1+x) 6(1+x)2 6+6(1+x)+6(1+x)2
2.a(1+x)2t
3.
三、1.平均增長率為x,則1600(1+x)2=1936,x=10%
2.設乙型增長率為x,甲型一月份產量為y:
則
即16x2+56x-15=0,解得x= =25%,y=20(臺)
3.(1)第一年年終總資金=50(1+P)
(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10。
一元二次方程教學設計6
教材分析
一元二次方程是九年級數學一個非常重要的內容，是首次出現的高于一次的方程。其解法的策略就是將其“降次”轉化為一次方程。通過解比較簡單的一元二次方程，引導學生認識直接開平方法解方程，再通過對比一邊為完全平方形式的方程，使學生認識配方法的`基本原理并掌握其具體方法，為后面的求根公式做準備。
學情分析
1. 教學對象：本班學生58人，這個班的特點是兩頭力量少，中間力量多，基礎知識薄弱。但學習氣氛較濃，能調動學生學習數學的積極性和挑戰性
2. 學生的認知分析：學生雖然具備初步的解題思路，但缺乏融會貫通和應用的能力。應適當地創設一些難易、新舊相結合的問題，加強學生對知識的應用。在學習過程中培養學生自主探索與合作交流的緊密結合，促使學生在探究的過程中，更多地獲得成功的體驗。
教學目標
1、知識與技能：學生會用直接開平方法解方程，x2=p,x2+2mx+m2=p(p≥0)建立一元二次方程模型解決簡單的實際問題，循序漸進的讓學生掌握直接開平方法的做法，通過對比學會配方法解數字系數的一元二次方程
2情感目標：滲透轉化思想，掌握一些轉化技能
教學重點和難點
重點：直接開平方法，簡單的配方法
難點：配方，把一元二次方程轉化為形如（x-a）2=b的過程
一元二次方程教學設計7
第一課時
一、教學目標
1．使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題。
2．通過列方程解應用問題，進一步體會提高分析問題、解決問題的能力。
3．通過列方程解應用問題，進一步體會代數中方程的思想方法解應用問題的優越性。
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1．教學重點：
會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題。
2．教學難點：
根據數與數字關系找等量關系。
3．教學疑點：
學生對列一元二次方程解應用問題中檢驗步驟的理解。
4．解決辦法：
列方程解應用題，就是先把實際問題抽象為數學問題，然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決。列方程解應用題，最重要的是審題，審題是列方程的基礎，而列方程是解題的關鍵，只有在透徹理解題意的基礎上，才能恰當地設出未知數，準確找出已知量與未知量之間的等量關系，正確地列出方程。
三、教學過程
1．復習提問
�。�1）列方程解應用問題的步驟？
①審題，②設未知數，③列方程，④解方程，⑤答。
�。�2）兩個連續奇數的表示方法是，（n表示整數）
2．例題講解
例1 兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。
分析：
�。�1）兩個連續奇數中較大的`奇數與較小奇數之差為2，
�。�2）設元（幾種設法）a．設較小的奇數為x，則另一奇數為，b．設較小的奇數為，則另一奇數為；c．設較小的奇數為，則另一個奇數。
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。
解法（一） 設較小奇數為x，另一個為，
據題意，得
整理后，得
解這個方程，得。
由得，由得，
答：這兩個奇數是17，19或者－19，－17。
解法（二） 設較小的奇數為，則較大的奇數為。
據題意，得
整理后，得
解這個方程，得。
當時，
當時，。
答：兩個奇數分別為17，19；或者－19，－17。
解法（三） 設較小的奇數為，則另一個奇數為。
據題意，得
整理后，得
解得，，或。
當時，。
當時，。
答：兩個奇數分別為17，19；－19，－17。
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1．三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？
2．解題中的x出現了負值，為什么不舍去？
答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。
3．選出三種方法中最簡單的一種。
練習1．兩個連續整數的積是210，求這兩個數。
2．三個連續奇數的和是321，求這三個數。
3．已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。
例2 有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關系是：
兩位數十位數字個位數字。
三位數百位數字十位數字個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為，這個兩位數是。
據題意，得，
整理，得，
解這個方程，得（不合題意，舍去）
當時，
答：這個兩位數是24。
以上分析，解答，教師引導，板書，學生回答，體會，評價。
注意：在求得解之后，要進行實際題意的檢驗。
練習1 有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35）
教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。
四、布置作業
補充：一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
五、板書設計
探究活動
將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣500個，已知該商品每漲價1元時，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？
參考答案：
精析：此題屬于經營問題.設商品單價為（50+）元，則每個商品得利潤元，因每漲1元，其銷售量會減少10個，則每個漲價元，其銷售量會減少10個，故銷售量為（500）個，為賺得8000元利潤，則應有（500）.故有=8000
當時，50+=60，500=400
當時，50+=80，500=200
所以，要想賺8000元，若售價為60元，則進貨量應為400個，若售價為80元，則進貨量應為200個.
一元二次方程教學設計8
一、教學目標
1.知識與技能
(1)會根據增長率問題中的數量關系和等量關系，列出一元二次方程，并能對方程解的合理性作出解釋；
2.過程與方法
通過猜想、探討構建一元二次方程模型．
3.情感、態度與價值觀
�。ǎ保┩ㄟ^自主、探究性學習，使學生養成良好的思維習慣；
�。ǎ玻┩ㄟ^對方程解的合理性解釋，培養學習實事求是的作風．
二、教學重點難點
1.重點
找出問題中的數量關系；
2.難點
找等量關系并列出相應方程．
三、教材分析
本節課是從實際問題引入的基本概念，學習方程的基本解法之后所提出的一些實際問題，以及最后一節的實踐與探索，都是為了給與學生都創造一些探索交流的機會，讓學生了解數學知識的發展，學會解決一些簡單問題的方法，特別是從實際情景尋找所隱含的數量關系，建立適當的數學模型．
四、教學過程與互動設計
（一）溫故知新
1.請同學們回憶并回答解一元一次方程應用題的一般步驟：
第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；
第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；
第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式(簡稱關系式)，從而列出方程；
第四步：解這個方程，求出未知數的值；
第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題的實際意義后，寫出答案(包括單位名稱.)
2.解一元二次方程的應用題的步驟與解一元一次方程應用題的步驟一樣.
我們先來解一些具體的題目，然后總結一些規律或應注意事項.
（二）創設情景，導入新課
1．一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米．
若梯子的頂端下滑1米，那么
（1）猜一猜，底端也將滑動
1米嗎？
�。�2）列出底端滑動距離所滿足的方程．
【答案】①底端將滑動1米多
�、谔崾荆合壤霉垂啥ɡ碓趯嶋H問題中的應用，說明數學來源于實際．
2．【探究活動】1.某商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3000元，這兩個月的`利潤平均增長的百分率是多少（精確到0.1％）？
�。ǎ保⿲W生討論：怎樣計算月利潤增長百分率？
【點評】通過學生討論得出月利潤增長百分率＝月增利潤/月利潤
例8 某商品經過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．
分析：若一次降價百分率為x，則一次降價后零售價為原來的（1-x）倍,即56（1-x）；第二次降價的百分率仍為31.5x，則第二次降價后零售價為原來的56（1-x）的（1-x）倍．
解：設平均降價百分率為x，根據題意，得
56（1-x）2=31.5
解這個方程，得
x 1 = 1.75，x2=0.25
因為降價的百分率不可能大于1，所以x1 = 1.75不符合題意，符合題意要求的是x=0.25=25%
答每次降價百分率為25%．
【跟蹤練習】
某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半．已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率（精確到0.1％）．
【友情提示】我們要牢牢把握列方程解決實際問題的三個重要環節：①整體地，系統地審清問題；②把握問題中的等量關系；③正確求解方程并檢驗解的合理性．
（三）應用遷移，鞏固提高
1．某商品原價200元，連續兩次降價a％后售價為148元，下列所列方程正確的是（ ）
�。�
A）200(1+a％)2=148 （B）200(1－a％)2=148
�。–）200(1－2a％)=148 （D）200(1－a2％)=148
2．為綠化家鄉，某中學在20xx年植樹400棵，計劃到20xx年底，使這三年的植樹總數達到1324棵，求此校植樹平均增長的百分數？
(四)達標測試
1．某超市一月份的營業額為100萬元，第一季度的營業額共800萬元，如果平均每月增長率為x，則所列方程應為（）
A、100(1+x)2=800 B、100+100×2x=800 C、100+100×3x=800 D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800
2．某地開展植樹造林活動，兩年內植樹面積由30萬畝增加到42萬畝，若設植樹面積年平均增長率為，根據題意列方程.
，一元二次方程的解法
3．某農場的糧食產量在兩年內從3000噸增加到3630噸，平均每年增產的百分率是多少?
4．某小組計劃在一季度每月生產100臺機器部件,二月份開始每月實際產量都超過前月的產量,結果一季度超產20%,求二,三月份平均每月增長率是多少?(精確到1%)
5．某鋼鐵廠今年一月份的某種鋼產量是5000噸,此后每月比上個月產量提高的百分數相同,且三月份比二月份的產量多1200噸,求這個相同的百分數
五、課堂小結
一元二次方程教學設計9
教學目標
知識技能：掌握應用方程解決實際問題的方法步驟，提高分析問題、解決問題的能力。
過程與方法：通過探索球積分表中數量關系的過程，進一步體會方程是解決實際問題的數學模型，并且明確用方程解決實際問題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
情感態度：鼓勵學生自主探究，合作交流，養成自覺反思的良好習慣。
重點：把實際問題轉化為數學問題，不僅會列方程求出問題的.解，還會進行推理判斷。
難點：把數學問題轉化為數學問題。
關鍵：從積分表中找出等量關系。
教具：投影儀。
教法：探究、討論、啟發式教學。
教學過程
一、創設問題情境
用投影儀展示幾張比賽場面及比分(學習是生活需要，引起學生興趣)
二、引入課題
教師用投影儀展示課本106頁中籃球聯賽積分榜引導學生觀察，思考：① 用式子表示總積分能與勝、負場數之間的數量關系;
�、谀酬牭膭賵隹偡帜艿扔谒呢搱隹偡e分么?
學生充分思考、合作交流，然后教師引導學生分析。
師：要解決問題①必須求出勝一場積幾分，負一場積幾分，你能從積分榜中得到負一場積幾分么?你選擇哪一行最能說明負一場積幾分?
生：從最下面一行可以發現，負一場積1分。
師：勝一場呢?
生：2分(有的用算術法、有的用方程各抒己見)
師：若一個隊勝a場，負多少場，又怎樣積分?
生：負(14-a)場，勝場積分2a，負場積分14-a，總積分a+14.
師：問題②如何解決?
學生通過計算各隊勝、負總分得出結論：不等。
師：你能用方程說明上述結論么?
生：老師，沒有等量關系。
師：欸，就是，已知里沒說，是不是不能用方程解決了?誰又沒有大膽設想?
生：老師，能不能試著讓它們相等?
師：偉大的發明都是在嘗試中進行的，試試?
生：如果設一個隊勝了x場，則負(14-x)場，讓勝場總積分等負場總積分，方程為：2x=14-x解得x=4/3(學生掌聲鼓勵)
師：x表示什么?可以是分數么?由此你的出什么結論?
生：x表示勝得場數，應該是一個整數，所以，x=4/3不符合實際意義，因此沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分。
師：此問題說明，利用方程不僅求出具體數值，而且還可以推理判斷，是否存在某種數量關系;還說明用方程解決實際問題時，不僅要注意方程解得是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
拓展
如果刪去積分榜的最后一行，你還能用式子表示總積分與勝、負場數之間的數量關系嗎?
師：我們可以從積分榜中積分不相同的兩行數據求的勝負一場各得幾分，如：一、三行。
教師引導學生設未知數，列方程。學生試說。
生：設勝一場積x分，則前進隊勝場積分10x，負場積分(24-10x)分，它負了4場，所以負一場積分為(24-10x)/4,同理從第三行得到負一場積分為(23-9x)/5，從而列方程為(24-10x)/4=(23-9x)/5。解得x=2，當x=2時，(24-10x)/4=1。仍然可得負一場積1分，勝一場積2分。
三、鞏固練習
已知某山區的平均氣溫與該山的海拔高度的關系見表：
海拔高度(單位：m)
100
200
300
400
平均氣溫(單位：℃)
22
21.5
21
20.5
20
若某種植物適宜生長在18℃20℃(包括18℃20℃)的山區，請問該植物適宜種在海拔為多少米的山區?
學生分析題意，思考，在練習本上完成，然后同桌小議，代表發言，教師點撥。
四、課堂小結：
讓幾個學生談自己的收獲，再讓一個學生全面總結。
五、布置作業：
課本108頁8、9題。
六、教學反思
本節課主要是借球賽積分表問題傳授數學知識的應用。在前面已經討論過由實際問題抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基礎上，本節進一步以探究的形式討論如何用一元一次方程解決實際問題。要探究的問題比前幾節的問題復雜些，問題情境與實際情況更接近。本節的重點是建立實際問題的方程模型。通過探究活動，進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯系，加強數學建模思想，培養運用一元一次方程分析和解決問題的能力。
由于本節問題的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，教師要恰當的引導，讓學生弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，找出可作為方程依據的主要相等關系，但教師不要代替學生的思考。
一元二次方程教學設計10
教學目標
掌握b2—4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等的實根，反之也成立；b2—4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數根，反之也成立；b2—4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）沒實根，反之也成立；及其它們關系的運用。
通過復習用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2—4ac=0、b2—4ac<0各一題，分析它們根的情況，從具體到一般，給出三個結論并應用它們解決一些具體題目。
重難點關鍵
1。重點：b2—4ac>0 一元二次方程有兩個不相等的實根；b2—4ac=0 一元二次方程有兩個相等的實數；b2—4ac<0 一元二次方程沒有實根。
2。難點與關鍵
從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2—4ac的情況與根的情況的關系。
教具、學具準備
小黑板
教學過程
一、復習引入
（學生活動）用公式法解下列方程。
（1）2x2—3x=0 （2）3x2—2 x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老師點評，（三位同學到黑板上作）老師只要點評（1）b2—4ac=9>0，有兩個不相等的實根；（2）b2—4ac=12—12=0，有兩個相等的實根；（3）b2—4ac=│—4×4×1│=<0，方程沒有實根。
二、探索新知
方程b2—4ac的值b2—4ac的符號x1、x2的關系
�。ㄌ钕嗟�、不等或不存在）
2x2—3x=0
3x2—2 x+1=0
4x2+x+1=0
請觀察上表，結合b2—4ac的符號，歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的`猜想。
從前面的具體問題，我們已經知道b2—4ac>0（<0，=0）與根的情況，現在我們從求根公式的角度來分析：
求根公式：x= ，當b2—4ac>0時，根據平方根的意義， 等于一個具體數，所以一元一次方程的x1= ≠x1= ，即有兩個不相等的實根。當b2—4ac=0時，根據平方根的意義 =0，所以x1=x2= ，即有兩個相等的實根；當b2—4ac<0時，根據平方根的意義，負數沒有平方根，所以沒有實數解。
因此，（結論）（1）當b2—4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等實數根即x1= ，x2= 。
（2）當b—4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等實數根即x1=x2= 。
�。�3）當b2—4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根。
例1。不解方程，判定方程根的情況
�。�1）16x2+8x=—3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2—9x+8=0 （4）x2—7x—18=0
分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2—4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進行分析即可。
解：（1）化為16x2+8x+3=0
這里a=16，b=8，c=3，b2—4ac=64—4×16×3=—128<0
所以，方程沒有實數根。
三、鞏固練習
不解方程判定下列方程根的情況：
�。�1）x2+10x+26=0 （2）x2—x— =0 （3）3x2+6x—5=0 （4）4x2—x+ =0
�。�5）x2— x— =0 （6）4x2—6x=0 （7）x（2x—4）=5—8x
四、應用拓展
例2。若關于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0沒有實數解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）。
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>—3的解集，那么就轉化為要判定a的值是正、負或0。因為一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0沒有實數根，即（—2a）2—4（a—2）（a+1）<0就可求出a的取值范圍。
解：∵關于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0沒有實數根。
∴（—2a）2—4（a—2）（a+1）=4a2—4a2+4a+8<0
a<—2
∵ax+3>0即ax&
gt；—3
∴x<—
∴所求不等式的解集為x<—
五、歸納小結
本節課應掌握：
b2—4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實根；b2—4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實根；b2—4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根及其它的運用。
六、布置作業
1。教材P46 復習鞏固6 綜合運用9 拓廣探索1、2。
2。選用課時作業設計。
第7課時作業設計
一、選擇題
1。以下是方程3x2—2x=—1的解的情況，其中正確的有（ ）。
A�！遙2—4ac=—8，∴方程有解
B。∵b2—4ac=—8，∴方程無解
C�！遙2—4ac=8，∴方程有解
D。∵b2—4ac=8，∴方程無解
2。一元二次方程x2—ax+1=0的兩實數根相等，則a的值為（ ）。
A。a=0 B。a=2或a=—2
C。a=2 D。a=2或a=0
3。已知k≠1，一元二次方程（k—1）x2+kx+1=0有根，則k的取值范圍是（ ）。
A。k≠2 B。k>2 C。k<2且k≠1 D。k為一切實數
二、填空題
1。已知方程x2+px+q=0有兩個相等的實數，則p與q的關系是________。
2。不解方程，判定2x2—3=4x的根的情況是______（填"二個不等實根"或"二個相等實根或沒有實根"）。
3。已知b≠0，不解方程，試判定關于x的一元二次方程x2—（2a+b）x+（a+ab—2b2）=0的根的情況是________。
三、綜合提高題
1。不解方程，試判定下列方程根的情況。
�。�1）2+5x=3x2 （2）x2—（1+2 ）x+ +4=0
2。當c<0時，判別方程x2+bx+c=0的根的情況。
3。不解方程，判別關于x的方程x2—2kx+（2k—1）=0的根的情況。
4。某集團公司為適應市場競爭，趕超世界先進水平，每年將銷售總額的8%作為新產品開發研究資金，該集團20xx年投入新產品開發研究資金為4000萬元，20xx年銷售總額為7。2億元，求該集團20xx年到20xx年的年銷售總額的平均增長率。
一元二次方程教學設計11
一、教材分析
�。ㄒ唬┙滩牡牡匚缓妥饔�
“一元二次方程的解法”是初中代數的方程中的一個重要內容之一，是在學完一元一次方程、因式分解、數的開方、以及前三種因式分解法、直接開方法、配方法解一元二次方程的基礎上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和開平方兩個知識的綜合運用和升華。通過本節課的教學使學生明確配方法是解方程的通法，同時會根據題目選擇合適的方法解一元二次方程。一元二次方程的解法也是今后學習二次函數和一元二次不等式的基礎。
�。ǘ┙虒W目標
知識技能方面：理解一元二次方程求根公式的推導過程，會用公式法解一元二次方程。
數學思考方面：通過求根公式的推導過程進一步使學生熟練掌握配方法，培養學生數學推理的嚴密性和邏輯性以及由特殊到一般的數學思想。
解決問題方面：結合用公式法解一元二次方程的練習，培養學生快速準確的運算能力和運用公式解決實際問題的能力。
情感態度方面：讓學生體驗到所有的方程都可以用公式法解決，感受到公式的對稱美、簡潔美，滲透分類的思想；公式的引入培養學生尋求簡便方法的探索精神和創新意識。
�。ㄈ┙虒W重、難點
重點：掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟；會熟練用公式法解一元二次方程。
難點：理解求根公式的推導過程和判別式
二、教學法分析
教法：本節課采用引導發現式的自主探究式與交流討論結合的方法；在教學中由舊知識引導探究一般化問題的形式展開，利用學生已有的知識、多交流、主動參與到教學活動中來。
學法：讓學生學會善于觀察、分析討論和分類歸納的方法，提出問題后，鼓勵學生通過分析、探索、嘗試解決問題的方法，銅鎖親自嘗試，使學生的'思維能力得到培養。
三、過程分析
本節課的教學設計成以下六個環節：復習導入——呈現問題——例題講解——鞏固練習課時小結——布置作業。
1、復習引入：
這節課，我首先從舊知
問題（1）用配方法解方程2x28x90的練習引入，
問題（2）總結配方法的一般步驟（化一般方程——二次項系數為1——配方使左邊為完全平方式——兩邊開方——求解）。
設計意圖：讓學生鞏固昨天的知識，進一步熟練鑰匙并為今天做學的內容解一般形式的一元二次方程做好鋪墊，達到“溫故而知新”。
2、問題呈現：
你能用配方法解一般形式的一元二次方程嗎？
此處由一個特殊的舊知引導學生推導出一般的結果，希望學生學會由特殊性到一般化的思想。為降低b2b24ac推導的難度，化簡、移項、配方、變形由我和學生一起探究完成，到(x這步時，提出 )
問題：①此時可以直接開平方嗎？
�、诘忍栍疫叺闹敌枰獫M足什么條件？為什么？
③等號右邊的值只跟哪個式子有關？
設計意圖：師生共同完成前四步，這樣與利于減輕學生的思維負擔，便于將主要精力放在后邊公式的推導上。通過小組的討論有利于發揮學生的互幫互助，借助小組的交流完善答案，關鍵讓學生會對掌握b24ac與方程有無實數根的關系，這里分類思想也是今后常用的一種數學思想，b24ac進行討論，
應加以強化。
最終總結出：
當b24ac＜0時，原方程無實數解。
當b24ac≥0時，原方程有實數解，
再進一步談論：b24ac＝0與b24ac＞0時，兩個解區別？
�。╞24ac＝0時，兩個相等的實數解，b24ac＞0時，兩個不等的實數解）
由此可知，方程有解還是無解是由b24ac決定，即b24ac是方程解的判別式。
同時，方程的解是可以將a、b、c
的值帶入公式x根公式”，利用它解一元二次方程叫做公式法。
3、例題講解
例4：用公式法解下列方程
總結步驟：
1、把方程公成一般形式，并寫出a,b,c的值。
2、求出b24ac的值
4、寫出方程的解：x1= ,x2=
設計意圖：規范解題格式，讓學生體會數學課中的嚴謹的邏輯推理；體驗并掌握公式法解一元二次方程的步驟，從中讓學生領會到由特殊到一般，一般到特殊的辯證思想。
4、鞏固練習
解下列一元二次方程：①x2x60
�、�4x2x90
�、踴2100
設計意圖：
（1）熟悉公式法，強化解題格式，
（2）及時發現錯誤及時解決。
例5:解方程：x(x1)(x2)
化簡得12212x3x40 2
強調：
①當方程不是一般形式時，應先化成一般形式，再運用求根公式。
�、谀氵�能用其他方法解本例方程嗎？
設計意圖：明確一元二次方程解題方法的多樣性，讓學生在你觀察分析題目后靈活合理的選擇解題方法，培養學生的多樣化思維，提高解題能力和解題的速度。
5、課時小結
（1）學生作知識總結：本節課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步驟解一元二次方程。
�。�2）我擴展：（方法歸納）求根公式是一元二次方程的專用公式，只有在確定方程是一元二次方程時才能使用，是常用而重要的一元二次方程的萬能求根公式。
6、布置作業：面向全體學生，注重個體差異，加強作業的針對性，分層布置作業，適應新課標，讓不同的學生各其所長，因材施教的要求，提高他們的學習的興趣和自信心。
四、板書設計
本節課內容較為單一，通過“層層設疑”、“復習回顧”等環節促進學生的思考和探究。
通過比較合理的問題設計鞏固練習、小組討論等形式給學生提供了充分的展示機會，強化了學生的運算能力，有利于學生掌握基本技能。
一元二次方程教學設計12
教材內容
1、本單元教學的主要內容。
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的應用題。
2本、單元在教材中的地位與作用。
一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程組》、《分式方程》等基礎之上學習的，它也是一種數學建模的方法。學好一元二次方程是學好二次函數不可或缺的，應該說，一元二次方程是本書的重點內容。
教學目標
1、知識與技能
了解一元二次方程及有關概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依據實際問題建立一元二次方程的數學模型的方法；應用熟練掌握以上知識解決問題。
2、過程與方法
�。�1）通過豐富的實例，讓學生合作探討，老師點評分析，建立數學模型。根據數學模型恰如其分地給出一元二次方程的概念。
（2）結合八冊上整式中的有關概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等。
�。�3）通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法──直接開方法，導入用配方法解一元二次方程，又通過大量的`練習鞏固配方法解一元二次方程。
（4）通過用已學的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）導出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2—4ac>0，b2—4ac=0，b2—4ac<0。
�。�5）通過復習八年級上冊《整式》的第5節因式分解進行知識遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習鞏固它。
�。�6）提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數學模型，并用該模型解決實際問題。
3、情感、態度與價值觀
經歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程，使同學們體會到通過一元二次方程也是刻畫現實世界中的數量關系的一個有效數學模型；經歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學們體會到轉化等數學思想；經歷設置豐富的問題情景，使學生體會到建立數學模型解決實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發學生的學習興趣。
教學重點
1、一元二次方程及其它有關的概念。
2、用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
3、利用實際問題建立一元二次方程的數學模型，并解決這個問題。
教學難點
1、一元二次方程配方法解題。
2、建立一元二次方程實際問題的數學模型；方程解與實際問題解的區別。
教學關鍵
1、分析實際問題如何建立一元二次方程的數學模型。
2、用配方法解一元二次方程的步驟。
3、解一元二次方程公式法的推導。
課時劃分
本單元教學時間約需13課時，具體分配如下：
22.1一元二次方程2課時
22.2降次──解一元二次方程4課時（直接開方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）
習題課1課時
22.3實際問題與一元二次方程3課時
小結1課時
一元二次方程教學設計13
【教學目標】
1、會根據具體問題中的數量關系列一元二次方程并求解。
2、能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理。
3、進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵。
【教學過程】
一、復習回顧：
1、解一元二次方程都有哪些方法？（學生口答）
2、列一元一次方程解應用題有哪些步驟？（學生口答）
①審題；②設未知數；③找相等關系；④列方程；⑤解方程；⑥答
二、問題探究：
（一）思考課本探究1回答下列問題：
�。�1）設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么患流感的這個人在第一輪傳染中傳染了 人；第一輪傳染后，共有 人患了流感。
（2）在第二輪傳染中，傳染源是 人，這些人中每一個人又傳染了 人，那么第二輪傳染了 人，第二輪傳染后，共有 人患流感。
（3）根據等量關系列方程并求解。為什么要舍去一解？
�。�4）通過對這個問題的探究，你對類似的傳播問題中的數量關系有新的認識嗎？
（5）完成教材思考：如果按照這樣的傳播速度，三輪傳染后，有多少人患流感？
�。▽W生在交流中解決問題，教師深入小組討論，對疑惑較多的問題要點撥；前兩個問是解題的關鍵，可作適當點撥。最后思考題，可讓學生試試獨立完成。教給學生如何審題，分析題。）
三、例題學習：
例1：青山村種的水稻20xx年平均每公頃產7200kg，20xx年平均每公頃產8450kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率。 （學生獨立思考、練習。一學生板書，教師巡視后講解）
例2：（教材探究2）兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
�。ńo學生分組求解，然后比較哪個小組做的有快又準。最后比較哪種藥品成本平均下降率較大。）
四、課堂練習：（學生獨立思考、練習。一學生板書，教師巡視后講解）
1、某種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的.小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少小分支？
2、有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，毎輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
五、總結反思：（由學生自己完成，教師作適當補充）
1、列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答。最后要檢驗根是否符合實際意義。
2、探究2是平均增長率或降低率問題。若平均增長（降低）率為x，增長（或降低）前的基數是a，增長（或降低）n次后的量是b，則有： （常見n=2）
教后記：
本節課是一元二次方程的應用第一課時。通過本節課的教學，總體感覺調動了學生的積極性，能夠充分發揮學生的主體作用，以現實生活情境問題入手，激發了學生思維的火花，具體我以為有以下幾個特點：
一、通過學生口答，復習了列方程解應用題的一般步驟及解一元二次方程的方法，為學習本節知識打好了基礎。
二、問題探究通過問題串讓學生解決的問題由淺入深，由易到難，也讓學生解決問題的能力逐級上升，這樣學生感到成功機會增加，從而有一種積極的學習態度，同時學生在學習中相互交流、相互學習，共同提高。
三、本節課第一個例題，是增長率問題中的一個典型例題，我在引導學生解決此題之后，進一步總結了列方程解應用題的步驟。不僅關注結果更關注過程，讓學生養成良好的解題習慣。
四、在課堂中始終貫徹數學源于生活又用于生活的數學觀念，同時用方程來解決問題，使學生樹立一種數學建模的思想。
五、課堂上多給學生展示的機會，讓學生走上講臺，向同學們展示自己的聰明才智。同時在這個過程中，更有利于發現學生分析問題與解決問題獨到見解及思維誤區，以便指導今后教學�？傊ㄟ^各種啟發、激勵的教學手段，幫助學生形成積極主動求知態度，課堂收效大。
六、需改進的方面：
1、由于怕完不成任務，給學生獨立思考時間安排有些不合理，這樣容易讓思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問。例如例2有多種解法，課后一些學生與老師交流，但課上沒有得到充分的展示、
2、只考慮撲捉學生的思維亮點，一學生列錯了方程，我沒有給予及時糾正。導致使一些同學陷入誤區、
3、下課后很多學生和我溝通課上一學生的錯誤問題，但他們上課并不敢提出，有點卻場，所以平時要培養學生敢想敢說敢于發表個人的不同見解的學風。
一元二次方程教學設計14
一、復習引入
1、已知方程 x2—ax—3a=0的一個根是6，則求a及另一個根的值。
2、有上題可知一元二次方程的系數與根有著密切的關系。其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數的關系，這種關系比較復雜，是否有根簡潔的關系？
3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1= ，x2= 、觀察兩式左邊，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac與—b—√b 2—4ac。兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？
二、探索新知
解下列方程，并填寫表格：
方 程x1x2x1+x2x1、 x2
x2—2x=0
x2+3x—4=0
x2—5x+6=0
觀察上面的表格，你能得到什么結論？
�。�1）關于x的方程 x2+px+q=0（p，q為常數，p2—4q≥0）的兩根x1，x2與系數p，q之間有什么關系？
�。�2）關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1， x2與系數a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？
解下列方程，并填寫表格：
方 程x1x2x1+x2x1、 x2
2x2—7x—4=0
3x2+2x—5=0
5x2—17x+6=0
小結：1、根與系數關系：
�。�1）關于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數，p2—4q≥0）的`兩根x1，x2與系數p，q的關系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q（注意：根與系數關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零。）
�。�2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先將二次項系數化為1，再利用上面的結論。
即： 對于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
�。ǹ梢岳们蟾浇o出證明）
例1：不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：
例2：不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？
例3：已知一元二次方程的兩個根是—1和2，請你寫出一個符合條件的方程、（你有幾種方法？）
例4：已知方程 的一個根是 ，求另一根及k的值、
變式一：已知方程 的兩根互為相反數，求k；
變式二：已知方程 的兩根互為倒數，求k；
三、鞏固練習
1、已知方程 的一個根是1，求另一根及m的值、
2、已知方程 的一個根為 ，求另一根及c的值、
四、應用拓展
1、已知關于x的方程 的一個根是另一個根的2倍，求m的值、
2、已知兩數和為8，積為9，求這兩個數、
3、 x2—2x+6=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=6、是否正確？
五、歸納小結
1、根與系數的關系：
2、根與系數關系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判別式大于等于零、
六、布置作業
1、不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積。
�。�1）x2—5x—3=0 （2）9x+2= x2 （3） 6 x2—3x+2=0 （4）3x2+x+1=0
2、 已知方程x2—3x+m=0的一個根為1，求另一根及m的值、
3、 已知方程x2+bx+6=0的一個根為—2求另一根及b的值、
一元二次方程教學設計15
一、素質教育目標
�。ㄒ唬┲R教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題。
�。ǘ┠芰τ柧汓c：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力。
二、教學重點、難點
1、教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題。
2、教學難點：根據數與數字關系找等量關系。
三、教學步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標
�。ǘ┱w感知：
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1、復習提問
（1）列方程解應用問題的步驟？
�、賹忣}，
�、谠O未知數，
�、哿蟹匠�，
�、芙夥匠蹋�
�、荽�。
�。�2）兩個連續奇數的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數）。
2、例1兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。
分析：
（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，
（2）設元（幾種設法）。設較小的奇數為x，則另一奇數為x+2，設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1；設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數2x+1。
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。
解法（一）
設較小奇數為x，另一個為x+2，據題意，得x（x+2）=323。
整理后，得x2+2x-323=0。
解這個方程，得x1=17，x2=-19。
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：這兩個奇數是17，19或者-19，-17。
解法（二）
設較小的奇數為x-1，則較大的奇數為x+1。
據題意，得（x-1）（x+1）=323。
整理后，得x2=324。
解這個方程，得x1=18，x2=-18。
當x=18時，18-1=17，18+1=19。
當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17。
答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17。
解法（三）
設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數為2x+1。
據題意，得（2x-1）（2x+1）=323。
整理后，得4x2=324。
解得，2x=18，或2x=-18。
當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19。
當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：兩個奇數分別為17，19；-19，-17。
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1、三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？
2、解題中的x出現了負值，為什么不舍去？
答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。
3、選出三種方法中最簡單的一種。
練習
1、兩個連續整數的積是210，求這兩個數。
2、三個連續奇數的和是321，求這三個數。
3、已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的'思想方法。例2有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關系是：
兩位數=十位數字×10+個位數字。
三位數=百位數字×100+十位數字×10+個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為x-2，這個兩位數是10（x-2）+x。
據題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，
當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24。
答：這個兩位數是24。
練習1有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35，53）
2、一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。
（四）總結，擴展
1、奇數的表示方法為2n+1，2n-1，……（n為整數）偶數的表示方法是2n（n是整數），連續奇數（偶數）中，較大的與較小的差為2，偶數、奇數可以是正數，也可以是負數。
數與數字的關系
兩位數=（十位數字×10）+個位數字。
三位數=（百位數字×100）+（十位數字×10）+個位數字。
……
2、通過本節課內容的比較、鑒別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途。
四、布置作業
教材P.42中A1、2、
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