分式差異導(dǎo)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
一、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、以描述實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象出分式的概念，體會(huì)分式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界國數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式。
2、類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的通分和約分的法則。
3、類比分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，探究分式的四則運(yùn)算，掌握這些法則。
4、結(jié)合分式的運(yùn)算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴(kuò)大到全體整數(shù)，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識(shí)體系。
5、結(jié)合分析和解決實(shí)際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會(huì)解方程中的化歸思想。
二、本間知識(shí)結(jié)構(gòu)：
三、本章內(nèi)容安排
分式的主要內(nèi)容包括：分式的概念，分式的基本性質(zhì)，分式的約分通分，分式的加、減、乘、除運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)，分式方程的概念及可化為一元一次方程的分式方程的解法。
四、本章的編寫特點(diǎn)
（一）反映分式和分式方程等概念的實(shí)際背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念來自實(shí)際、服務(wù)于實(shí)際
本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系；在討論分式的乘除和加減的過程中，前后安排了涉及容積、工作效率、耕作面積、工程進(jìn)度、增長率等多個(gè)實(shí)際問題；在討論分式方程時(shí)，更注意結(jié)合分析、解決實(shí)際問題逐步深入。可以看出，本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實(shí)際、貼近生活。這樣編寫的目的主要是反映兩重意思：
1.客觀世界中有大量的問題需要用數(shù)學(xué)進(jìn)行研究，許多數(shù)學(xué)概念正是在客觀實(shí)際的需求中產(chǎn)生的。
2.掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法后，可以能動(dòng)地運(yùn)用它們分析和解決大量的實(shí)際問題。上述兩方面是符合辯證唯物主義關(guān)于理論與實(shí)際的關(guān)系的觀點(diǎn)的，在本套教科書的其他部分也有這樣的反映。
人們接受正確的哲學(xué)觀點(diǎn)需要經(jīng)歷不斷加深認(rèn)識(shí)的過程，結(jié)合學(xué)習(xí)的不同階段滲透辯證唯物主義和歷史唯物主義，幫助學(xué)生逐步形成正確的世界觀和方法論，是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)之一。本套教科書力求體現(xiàn)的一個(gè)特點(diǎn)，就是使它成為反映科學(xué)發(fā)展和文化進(jìn)步的一面鏡子，使學(xué)生通過這面鏡子的照射更清楚地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本來面目、更清楚地認(rèn)識(shí)世界。
本章中安排大量實(shí)際問題，也是為更好地體現(xiàn)本套教科書非常重視的一點(diǎn)，即通過分析與解決實(shí)際問題，提高學(xué)生聯(lián)系實(shí)際地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)、興趣和能力，更好地培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。
（二）通過類比分?jǐn)?shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式
人們認(rèn)識(shí)事物往往經(jīng)歷“從具體到抽象，從特殊到一般”的過程，本章教科書對幾個(gè)內(nèi)容的安排正是按照這樣的'過程展現(xiàn)的。分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系。分?jǐn)?shù) 等表示具體的數(shù)值，或者說每個(gè)分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義，例如 表示的是一般的倒數(shù)， 表示的是任意兩個(gè)數(shù)的除法。分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則，是從分?jǐn)?shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則中經(jīng)過再抽象而產(chǎn)生的。在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)對分?jǐn)?shù)有較多的了解，因此本章教科書的另一個(gè)編寫特點(diǎn)是：在學(xué)生對分?jǐn)?shù)已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式。在16.1節(jié)討論分式的基本性質(zhì)、約分、通分和11.2節(jié)討論分式的四則運(yùn)算時(shí)，教科書通過多次的“觀察”“思考”，進(jìn)行上述類比，溫故而知新，完成知識(shí)的深化。希望讀者能細(xì)心體會(huì)這樣安排的良苦用心，教學(xué)中充分發(fā)揮知識(shí)之間正向遷移的積極作用。
（三）分析分式方程的特點(diǎn)，明確指出解分式方程的基本思路
在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)分兩次學(xué)習(xí)過整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），他們對于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化為 的形式）已經(jīng)比較熟悉。分式方程的未知數(shù)在分母中，它的解法比以前學(xué)過的方程復(fù)雜，隨著問題復(fù)雜性的增加，人們需要不斷地提高認(rèn)識(shí)問題的水平，這里包括提高對新事物與已熟悉的事物之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)水平的提高，是構(gòu)建知識(shí)體系的過程中不可缺少的。
章最后的第16.3節(jié)“分式方程”，從分析分式方程的特點(diǎn)入手，引出解分式方程的基本思路，即通過去分母使分式方程化為整式方程，再解出未知數(shù)。教科書注意在這里要體現(xiàn)出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地產(chǎn)生的，是在原來已經(jīng)認(rèn)識(shí)的解方程的基本思路——使方程逐步化為 的形式的想法基礎(chǔ)上發(fā)展而得到的。這樣處理既突出了分式方程解法上的特點(diǎn)及其算理，又反映了分式方程與整式方程在解法上的內(nèi)在聯(lián)系。
在強(qiáng)調(diào)解分式方程必須檢驗(yàn)時(shí)，考慮到學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和接受能力，教科書沒有對解分式方程中增根的理論問題進(jìn)行深入的討論，而是通過具體例子展現(xiàn)了解分式方程時(shí)可能出現(xiàn)增根的現(xiàn)象，并結(jié)合例子分析了什么情況下產(chǎn)生增根，然后歸納出檢驗(yàn)增根的方法，這樣處理是想以典型例子簡明地說明檢驗(yàn)增根方法的依據(jù)。教科書的編者對如何把握這個(gè)問題的深度作了認(rèn)真思考，力求做到既說明做法的合理性，有適可而止，不超越學(xué)生的實(shí)際水平。
在本章小結(jié)中，教科書通過本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和思考題，再次強(qiáng)調(diào)了解分式方程的基本思路以及檢驗(yàn)的問題，這又一次反映出編者對分式方程不僅關(guān)注使學(xué)生會(huì)解，而且還重視使學(xué)生認(rèn)識(shí)解法
后面的道理，即使學(xué)生能知其然也知所以然。
五、課時(shí)安排：
本章教學(xué)時(shí)間約為11課時(shí)，大體分配如下：
第1課時(shí) 從分?jǐn)?shù)到分式 ……1課時(shí)
第2課時(shí) 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) ……1課時(shí)
第3課時(shí) 約分與通分 ……1課時(shí)
第4課時(shí) 分式的乘除法運(yùn)算 ……1課時(shí)
第5課時(shí) 分式的乘除乘方混合運(yùn)算 ……1課時(shí)
第6課時(shí) 分式的加減運(yùn)算 ……1課時(shí)
第7課時(shí) 分式的加減乘除乘方混合運(yùn)算…… 1課時(shí)
第8課時(shí) 分式的整數(shù)指數(shù)冪 ……1課時(shí)
第9課時(shí) 分式方程（一） ……1課時(shí)
第10課時(shí) 分式方程（二） ……1課時(shí)
第11課時(shí) 分式復(fù)習(xí)課 ……1課時(shí)
六、學(xué)法教法建議
（一）重視分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系，注意通過分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)分式
數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，這樣的抽象是一個(gè)逐步深入的過程。人們首先從計(jì)算具體物體個(gè)數(shù)的活動(dòng)中抽象出整數(shù)的概念，又從把一個(gè)具體物體分為若干份的活動(dòng)中抽象出分?jǐn)?shù)的概念，這是一種從實(shí)物到數(shù)的抽象。人們在研究整數(shù)和分?jǐn)?shù)的過程中，為了更好地反映一般規(guī)律，又抽象出整式和分式的概念，這是一種從數(shù)到式的抽象。
如前面所述，分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系，即相對于分式而言分?jǐn)?shù)就是具體的、特殊的基礎(chǔ)對象。分式是把具體的分?jǐn)?shù)一般化后的抽象代表，根據(jù)這種關(guān)系，分式的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等相對應(yīng)，即兩者具有一致性，這也可以說是數(shù)式通性。“從具體到抽象，從特殊到一般”，是人們認(rèn)識(shí)事物往往經(jīng)歷的過程，本章教科書對分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等內(nèi)容的展開，充分地考慮了這樣的認(rèn)識(shí)過程。因此，教學(xué)中應(yīng)重視分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系，考慮到學(xué)生對分?jǐn)?shù)已有一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，要發(fā)揮這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的作用，通過分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式，這將有助于理解和記憶所學(xué)的分式內(nèi)容。同時(shí)，這樣的學(xué)習(xí)過程對于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)方法也會(huì)起到引導(dǎo)作用。
（二）重視分式與實(shí)際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想
由于分式是在分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上再次抽象的產(chǎn)物，所以相對說來就與客觀實(shí)際的聯(lián)系而言，分式不如分?jǐn)?shù)更直接。但是，如果我們不僅考慮實(shí)際問題中的具體數(shù)值，而且考慮其中的運(yùn)算或?qū)?yīng)規(guī)律，那么仍然有與分式存在密切聯(lián)系的實(shí)際問題情景。
如前所述，本章教科書中從引言開始安排了大量實(shí)際問題，一方面要體現(xiàn)與研究分?jǐn)?shù)類似研究分式同樣也是實(shí)際需要，另一方面也是為通過運(yùn)用分式為工具分析與解決實(shí)際問題，提高學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式的能力，即結(jié)合本章內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)于實(shí)際問題的興趣和意識(shí)，從長遠(yuǎn)看這將有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。
在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視分式與實(shí)際的聯(lián)系，選擇一些適合分式內(nèi)容而又接近學(xué)生生活的實(shí)際問題，結(jié)合這些問題展開分式的內(nèi)容。要注意避免脫離任何實(shí)際問題地講述分式的內(nèi)容，雖然這種純數(shù)學(xué)的處理方法在數(shù)學(xué)體系內(nèi)部并無問題，但是從教學(xué)角度看它具有局限性，不適合初中學(xué)生接受，也不利于全面地提高學(xué)生素質(zhì)。總之，要充分注意有關(guān)現(xiàn)實(shí)背景，通過它們反映出分式來自實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，加強(qiáng)對代數(shù)式（包含分式）也是解決現(xiàn)實(shí)問題的一種數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。
對于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)代數(shù)式的問題，分析和解決它們的關(guān)鍵是找出問題中相關(guān)數(shù)量之間的運(yùn)算關(guān)系，并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為數(shù)學(xué)形式，而正確地理解問題情境是基礎(chǔ)。在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，可以從多種角度思考實(shí)際問題，例如借助圖象、表格、式子等進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系，并檢驗(yàn)所建立的式子的合理性。
（三）重視分式方程的特殊性，突出其解法的關(guān)鍵步驟
本章所討論的主要對象是分式，分式方程與分式有直接的關(guān)系。如前所述，本章之前，已經(jīng)出現(xiàn)過整式方程，對于解方程就是使方程逐步化為 的形式這一基本思路，學(xué)生已經(jīng)比較熟悉。與整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知數(shù)在分母中。正因如此分式方程的解法與整式方程的解法有兩個(gè)明顯的區(qū)別：
1.一般說，解分式方程時(shí)要通過去分母使它先轉(zhuǎn)化為整式方程，也就是使未知數(shù)從分母的位置移上來。注意這里的去分母是在方程兩邊同乘一個(gè)含未知數(shù)的式子而不是一個(gè)非零常數(shù)，因此這樣的去分母不能保證新方程與原方程同解。
2.通過去分母得出的解必須經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)這個(gè)解使得分式方程的分母不為零時(shí)，它才是分式方程的解。
由于解一元一次方程已不是新問題，所以上述兩點(diǎn)就成為本章中解分式的關(guān)鍵步驟。
在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視分析分式方程的特殊性，并根據(jù)它認(rèn)識(shí)解分式方程的基本思路（先化分式方程為整式方程，再解出未知數(shù)，再檢驗(yàn)確認(rèn)），明白這樣做的道理，再次體會(huì)化歸思想在解方程時(shí)的指導(dǎo)作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不會(huì)去死記硬背解法步驟了。這也就是說，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的關(guān)鍵步驟及其算理，在已有的對解方程的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再認(rèn)識(shí)分式方程的解法。
此外，需要強(qiáng)調(diào)：本章的主要內(nèi)容包括分式的基本概念、基本性質(zhì)、基本運(yùn)算，分式方程的基本解法等，這些都是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)，打好基礎(chǔ)很重要，因此教學(xué)中應(yīng)注意通過必要的練習(xí)使學(xué)生切實(shí)掌握它們。結(jié)論一起考慮，即“兩頭湊”幫助學(xué)生克服難點(diǎn)。
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